Datrys {l}{x+y=1}{3x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 3 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=1$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+1$$

Amnewid -y+1 am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=5.

$$3\left(-y+1\right)+y=5$$

Lluoswch 3 â -y+1.

$$-3y+3+y=5$$

Adio -3y at y.

$$-2y+3=5$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=-1$$

Cyfnewidiwch -1 am y yn x=-y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\left(-1\right)+1$$

Lluoswch -1 â -1.

$$x=1+1$$

Adio 1 at 1.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3}&-\frac{1}{1-3}\\-\frac{3}{1-3}&\frac{1}{1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=-1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=1,3x+y=5$$

Tynnwch 3x+y=5 o x+y=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-3x+y-y=1-5$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x-3x=1-5$$

Adio x at -3x.

$$-2x=1-5$$

Adio 1 at -5.

$$-2x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x yn 3x+y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$3\times 2+y=5$$

Lluoswch 3 â 2.

$$6+y=5$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-1$$