Datrys {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+6y=27$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-6y+27$$

Amnewid -6y+27 am x yn yr hafaliad arall, 7x-3y=9.

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

Lluoswch 7 â -6y+27.

$$-42y+189-3y=9$$

Adio -42y at -3y.

$$-45y+189=9$$

Tynnu 189 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-45y=-180$$

Rhannu’r ddwy ochr â -45.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-6y+27. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-6\times 4+27$$

Lluoswch -6 â 4.

$$x=-24+27$$

Adio 27 at -24.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

I wneud x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

Symleiddio.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

Tynnwch 7x-3y=9 o 7x+42y=189 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

Adio 7x at -7x. Mae'r termau 7x a -7x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$42y+3y=189-9$$

Adio 42y at 3y.

$$45y=189-9$$

Adio 189 at -9.

$$45y=180$$

Rhannu’r ddwy ochr â 45.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 7x-3y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-3\times 4=9$$

Lluoswch -3 â 4.

$$7x-12=9$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=21$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=4$$