Datrys {l}{x+3=2y+1}{2x-1=y+1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 = 2 y + 1 } \\ { 2 x - 1 = y + 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x+3-2y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$x-2y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=1+1$$

Adio 1 a 1 i gael 2.

$$2x-y=2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-2y=-2$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=2y-2$$

Amnewid -2+2y am x yn yr hafaliad arall, 2x-y=2.

$$2\left(2y-2\right)-y=2$$

Lluoswch 2 â -2+2y.

$$4y-4-y=2$$

Adio 4y at -y.

$$3y-4=2$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=2y-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2\times 2-2$$

Lluoswch 2 â 2.

$$x=4-2$$

Adio -2 at 4.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x+3-2y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$x-2y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=1+1$$

Adio 1 a 1 i gael 2.

$$2x-y=2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$x+3-2y=1$$

Tynnu 3 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=1-3$$

Tynnu 3 o 1 i gael -2.

$$x-2y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$2x-1-y=1$$

Ychwanegu 1 at y ddwy ochr.

$$2x-y=1+1$$

Adio 1 a 1 i gael 2.

$$2x-y=2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-2y=-2,2x-y=2$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-2\right),2x-y=2$$

Symleiddio.

$$2x-4y=-4,2x-y=2$$

Tynnwch 2x-y=2 o 2x-4y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-4y+y=-4-2$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+y=-4-2$$

Adio -4y at y.

$$-3y=-4-2$$

Adio -4 at -2.

$$-3y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x-y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-2=2$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$