Datrys {l}{x+2y=3}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{23}{11} = 2\frac{1}{11} \approx 2.090909091$$

$$y=\frac{5}{11}\approx 0.454545455$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=3$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+3$$

Amnewid -2y+3 am x yn yr hafaliad arall, 5x-y=10.

$$5\left(-2y+3\right)-y=10$$

Lluoswch 5 â -2y+3.

$$-10y+15-y=10$$

Adio -10y at -y.

$$-11y+15=10$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=\frac{5}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{11} am y yn x=-2y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{5}{11}+3$$

Lluoswch -2 â \frac{5}{11}.

$$x=-\frac{10}{11}+3$$

Adio 3 at -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{23}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 5}&-\frac{2}{-1-2\times 5}\\-\frac{5}{-1-2\times 5}&\frac{1}{-1-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 3+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{5}{11}\times 3-\frac{1}{11}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{11}\\\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=3,5x-y=10$$

I wneud x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5x+5\times 2y=5\times 3,5x-y=10$$

Symleiddio.

$$5x+10y=15,5x-y=10$$

Tynnwch 5x-y=10 o 5x+10y=15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x+10y+y=15-10$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y+y=15-10$$

Adio 10y at y.

$$11y=15-10$$

Adio 15 at -10.

$$11y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{5}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{11} am y yn 5x-y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x-\frac{5}{11}=10$$

Adio \frac{5}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{115}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{23}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{23}{11},y=\frac{5}{11}$$