Datrys {l}{x+2y=16}{2x+3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 16 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-14$$

$$y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=16$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+16$$

Amnewid -2y+16 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=17.

$$2\left(-2y+16\right)+3y=17$$

Lluoswch 2 â -2y+16.

$$-4y+32+3y=17$$

Adio -4y at 3y.

$$-y+32=17$$

Tynnu 32 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn x=-2y+16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times 15+16$$

Lluoswch -2 â 15.

$$x=-30+16$$

Adio 16 at -30.

$$x=-14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-14,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\17\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 16+2\times 17\\2\times 16-17\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\15\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-14,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=16,2x+3y=17$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 16,2x+3y=17$$

Symleiddio.

$$2x+4y=32,2x+3y=17$$

Tynnwch 2x+3y=17 o 2x+4y=32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+4y-3y=32-17$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-3y=32-17$$

Adio 4y at -3y.

$$y=32-17$$

Adio 32 at -17.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn 2x+3y=17. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times 15=17$$

Lluoswch 3 â 15.

$$2x+45=17$$

Tynnu 45 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-14,y=15$$