Datrys {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=10$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+10$$

Amnewid -2y+10 am x yn yr hafaliad arall, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Lluoswch -2 â -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Adio 4y at 3y.

$$7y-20=5$$

Adio 20 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=25$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{25}{7} am y yn x=-2y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Lluoswch -2 â \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Adio 10 at -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

I wneud x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Symleiddio.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Tynnwch -2x+3y=5 o -2x-4y=-20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-3y=-20-5$$

Adio -4y at -3y.

$$-7y=-20-5$$

Adio -20 at -5.

$$-7y=-25$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Cyfnewidiwch \frac{25}{7} am y yn -2x+3y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Lluoswch 3 â \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Tynnu \frac{75}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$