Datrys {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$y-4x=-5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=1$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y+1$$

Amnewid -2y+1 am x yn yr hafaliad arall, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Lluoswch -4 â -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Adio 8y at y.

$$9y-4=-5$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{9} am y yn x=-2y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Lluoswch -2 â -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Adio 1 at \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$y-4x=-5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 4x o'r ddwy ochr.

$$y-4x=-5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

I wneud x a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Symleiddio.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Tynnwch -4x+y=-5 o -4x-8y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y-y=-4+5$$

Adio -8y at -y.

$$-9y=-4+5$$

Adio -4 at 5.

$$-9y=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{9} am y yn -4x+y=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Adio \frac{1}{9} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$