Datrys {l}{s-t=3}{s/3+t/2=6}

$$\left. \begin{array} { l } { s - t = 3 } \\ { \frac { s } { 3 } + \frac { t } { 2 } = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer s, t

$$t=6$$

$$s=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer s drwy ynysu s ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$s-t=3$$

Adio t at ddwy ochr yr hafaliad.

$$s=t+3$$

Amnewid t+3 am s yn yr hafaliad arall, \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6.

$$\frac{1}{3}\left(t+3\right)+\frac{1}{2}t=6$$

Lluoswch \frac{1}{3} â t+3.

$$\frac{1}{3}t+1+\frac{1}{2}t=6$$

Adio \frac{t}{3} at \frac{t}{2}.

$$\frac{5}{6}t+1=6$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{6}t=5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{6}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$t=6$$

Cyfnewidiwch 6 am t yn s=t+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer s yn uniongyrchol.

$$s=6+3$$

Adio 3 at 6.

$$s=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$s=9,t=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{6}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 3+\frac{6}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}s\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics s a t.

$$s=9,t=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$s-t=3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

I wneud s a \frac{s}{3} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{3} a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{3}\left(-1\right)t=\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1,\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6$$

Tynnwch \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6 o \frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t=1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}s-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

Adio \frac{s}{3} at -\frac{s}{3}. Mae'r termau \frac{s}{3} a -\frac{s}{3} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{3}t-\frac{1}{2}t=1-6$$

Adio -\frac{t}{3} at -\frac{t}{2}.

$$-\frac{5}{6}t=1-6$$

Adio 1 at -6.

$$-\frac{5}{6}t=-5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{5}{6}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$t=6$$

Cyfnewidiwch 6 am t yn \frac{1}{3}s+\frac{1}{2}t=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer s yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{3}s+\frac{1}{2}\times 6=6$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 6.

$$\frac{1}{3}s+3=6$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}s=3$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$s=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$s=9,t=6$$