Datrys {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer n, y

$$y=4$$

$$n=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer n drwy ynysu n ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$n+y=4$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$n=-y+4$$

Amnewid -y+4 am n yn yr hafaliad arall, 2n+3y=12.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

Lluoswch 2 â -y+4.

$$-2y+8+3y=12$$

Adio -2y at 3y.

$$y+8=12$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn n=-y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer n yn uniongyrchol.

$$n=-4+4$$

Adio 4 at -4.

$$n=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$n=0,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics n a y.

$$n=0,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

I wneud n a 2n yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

Symleiddio.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

Tynnwch 2n+3y=12 o 2n+2y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

Adio 2n at -2n. Mae'r termau 2n a -2n yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-3y=8-12$$

Adio 2y at -3y.

$$-y=8-12$$

Adio 8 at -12.

$$-y=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 2n+3y=12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer n yn uniongyrchol.

$$2n+3\times 4=12$$

Lluoswch 3 â 4.

$$2n+12=12$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2n=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$n=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$n=0,y=4$$