Datrys {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Adio ny at ddwy ochr yr hafaliad.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{m} â ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Amnewid \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} am x yn yr hafaliad arall, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Adio \frac{ny}{m} at y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Tynnu m+\frac{n^{2}}{m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Cyfnewidiwch m-n am y yn x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Lluoswch \frac{n}{m} â m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Adio m+\frac{n^{2}}{m} at \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=m+n,y=m-n$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

I wneud mx a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Symleiddio.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Tynnwch mx+my=2m^{2} o mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio mx at -mx. Mae'r termau mx a -mx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio -ny at -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio m^{2}+n^{2} at -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m-n.

$$y=m-n$$

Cyfnewidiwch m-n am y yn x+y=2m. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+m-n=2m$$

Tynnu m-n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=m+n$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=m+n,y=m-n$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Adio ny at ddwy ochr yr hafaliad.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Lluoswch \frac{1}{m} â ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Amnewid \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} am x yn yr hafaliad arall, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Adio \frac{ny}{m} at y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Tynnu m+\frac{n^{2}}{m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Cyfnewidiwch m-n am y yn x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Lluoswch \frac{n}{m} â m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Adio m+\frac{n^{2}}{m} at \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=m+n,y=m-n$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

I wneud mx a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Symleiddio.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Tynnwch mx+my=2m^{2} o mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio mx at -mx. Mae'r termau mx a -mx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio -ny at -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Adio m^{2}+n^{2} at -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m-n.

$$y=m-n$$

Cyfnewidiwch m-n am y yn x+y=2m. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+m-n=2m$$

Tynnu m-n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=m+n$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=m+n,y=m-n$$