Datrys {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$m+n=1$$

Tynnu n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$m=-n+1$$

Amnewid -n+1 am m yn yr hafaliad arall, -3m+2n=-2.

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

Lluoswch -3 â -n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

Adio 3n at 2n.

$$5n-3=-2$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5n=1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{5} am n yn m=-n+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

Adio 1 at -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

I wneud m a -3m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

Tynnwch -3m+2n=-2 o -3m-3n=-3 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

Adio -3m at 3m. Mae'r termau -3m a 3m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3n-2n=-3+2$$

Adio -3n at -2n.

$$-5n=-3+2$$

Adio -3 at 2.

$$-5n=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{5} am n yn -3m+2n=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

Lluoswch 2 â \frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

Tynnu \frac{2}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$m=\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$