Datrys {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=-1$$

$$n=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$m+2n=5$$

Tynnu 2n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$m=-2n+5$$

Amnewid -2n+5 am m yn yr hafaliad arall, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

Lluoswch -2 â -2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

Adio 4n at n.

$$5n-10+2=7$$

Adio -10 at 2.

$$5n-8=7$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5n=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$n=3$$

Cyfnewidiwch 3 am n yn m=-2n+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-2\times 3+5$$

Lluoswch -2 â 3.

$$m=-6+5$$

Adio 5 at -6.

$$m=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=-1,n=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=-1,n=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

I wneud m a -2m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Symleiddio.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Tynnwch -2m+n+2=7 o -2m-4n=-10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

Adio -2m at 2m. Mae'r termau -2m a 2m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4n-n-2=-10-7$$

Adio -4n at -n.

$$-5n-2=-10-7$$

Adio -10 at -7.

$$-5n-2=-17$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5n=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$n=3$$

Cyfnewidiwch 3 am n yn -2m+n+2=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$-2m+3+2=7$$

Adio 3 at 2.

$$-2m+5=7$$

Tynnu 5 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2m=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$m=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=-1,n=3$$