Datrys {l}{k+ym=mg+x}{y=mx-ma}

$$\left. \begin{array} { l } { k + y m = m g + x } \\ { y = m x - m a } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&m\neq 1\text{ and }m\neq -1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$my-x=gm-k$$

Adio x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$my=x+gm-k$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

Lluoswch \frac{1}{m} â x+mg-k.

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

Amnewid \frac{x-k+mg}{m} am y yn yr hafaliad arall, y+\left(-m\right)x=-am.

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

Adio \frac{x}{m} at -mx.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

Tynnu g-\frac{k}{m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m+\frac{1}{m}.

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Cyfnewidiwch \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}} am x yn y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

Lluoswch \frac{1}{m} â \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}.

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

Adio g-\frac{k}{m} at \frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

I wneud my a y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â m.

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

Symleiddio.

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

Tynnwch my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} o my-x=gm-k trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Adio my at -my. Mae'r termau my a -my yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Adio -x at m^{2}x.

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

Adio mg-k at am^{2}.

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1+m^{2}.

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Cyfnewidiwch \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1} am x yn y+\left(-m\right)x=-am. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

Lluoswch -m â \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}.

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

Adio \frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}\text{, }y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}\text{, }&|m|\neq 1\\x=my-gm+k\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(k=a-g\text{ and }m=-1\right)\text{ or }\left(k=a+g\text{ and }m=1\right)\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$my-x=gm-k$$

Adio x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$my=x+gm-k$$

Rhannu’r ddwy ochr â m.

$$y=\frac{1}{m}\left(x+gm-k\right)$$

Lluoswch \frac{1}{m} â x+mg-k.

$$y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}$$

Amnewid \frac{x-k+mg}{m} am y yn yr hafaliad arall, y+\left(-m\right)x=-am.

$$\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}+\left(-m\right)x=-am$$

Adio \frac{x}{m} at -mx.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x+g-\frac{k}{m}=-am$$

Tynnu g-\frac{k}{m} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-m+\frac{1}{m}\right)x=-am-g+\frac{k}{m}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m+\frac{1}{m}.

$$x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Cyfnewidiwch \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}} am x yn y=\frac{1}{m}x+g-\frac{k}{m}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=\frac{1}{m}\times \frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}+g-\frac{k}{m}$$

Lluoswch \frac{1}{m} â \frac{k-mg-am^{2}}{1-m^{2}}.

$$y=\frac{k-gm-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}+g-\frac{k}{m}$$

Adio g-\frac{k}{m} at \frac{k-mg-am^{2}}{m\left(1-m^{2}\right)}.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{m\left(-gm+k-a\right)}{1-m^{2}},x=\frac{k-gm-am^{2}}{1-m^{2}}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&-m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}&\frac{m}{m\left(-m\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m}{1-m^{2}}&\frac{1}{1-m^{2}}\\-\frac{1}{1-m^{2}}&\frac{m}{1-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}gm-k\\-am\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{1}{1-m^{2}}\left(-am\right)\\\left(-\frac{1}{1-m^{2}}\right)\left(gm-k\right)+\frac{m}{1-m^{2}}\left(-am\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}\\\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$k+ym-x=mg$$

Tynnu k o'r ddwy ochr.

$$ym-x=mg-k$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu mx o'r ddwy ochr.

$$y-mx=-ma$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$my-x=gm-k,y+\left(-m\right)x=-am$$

I wneud my a y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â m.

$$my-x=gm-k,my+m\left(-m\right)x=m\left(-am\right)$$

Symleiddio.

$$my-x=gm-k,my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2}$$

Tynnwch my+\left(-m^{2}\right)x=-am^{2} o my-x=gm-k trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$my+\left(-m\right)y-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Adio my at -my. Mae'r termau my a -my yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-x+m^{2}x=gm-k+am^{2}$$

Adio -x at m^{2}x.

$$\left(m^{2}-1\right)x=gm-k+am^{2}$$

Adio mg-k at am^{2}.

$$\left(m^{2}-1\right)x=am^{2}+gm-k$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1+m^{2}.

$$x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$

Cyfnewidiwch \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1} am x yn y+\left(-m\right)x=-am. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y+\left(-m\right)\times \frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}=-am$$

Lluoswch -m â \frac{mg-k+am^{2}}{m^{2}-1}.

$$y-\frac{m\left(am^{2}+gm-k\right)}{m^{2}-1}=-am$$

Adio \frac{m\left(mg-k+am^{2}\right)}{m^{2}-1} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{m\left(gm+a-k\right)}{m^{2}-1},x=\frac{am^{2}+gm-k}{m^{2}-1}$$