Datrys {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$fx-y=7$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$fx=y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{f} â y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Amnewid \frac{7+y}{f} am x yn yr hafaliad arall, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Lluoswch -9 â \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Adio -\frac{9y}{f} at fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Adio \frac{63}{f} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Rhannu’r ddwy ochr â f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Cyfnewidiwch \frac{63+8f}{f^{2}-9} am y yn x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Lluoswch \frac{1}{f} â \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Adio \frac{7}{f} at \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

I wneud fx a -9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -9 a holl dermau naill ochr yr ail â f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Symleiddio.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Tynnwch \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f o \left(-9f\right)x+9y=-63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio -9fx at 9fx. Mae'r termau -9fx a 9fx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio 9y at -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio -63 at -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Rhannu’r ddwy ochr â -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Cyfnewidiwch -\frac{63+8f}{9-f^{2}} am y yn -9x+fy=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Lluoswch f â -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Adio \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$fx-y=7$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$fx=y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â f.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{f} â y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Amnewid \frac{7+y}{f} am x yn yr hafaliad arall, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

Lluoswch -9 â \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

Adio -\frac{9y}{f} at fy.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Adio \frac{63}{f} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Rhannu’r ddwy ochr â f-\frac{9}{f}.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Cyfnewidiwch \frac{63+8f}{f^{2}-9} am y yn x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

Lluoswch \frac{1}{f} â \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

Adio \frac{7}{f} at \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$fx-y=7$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 9x o'r ddwy ochr.

$$fy-9x=8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

I wneud fx a -9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -9 a holl dermau naill ochr yr ail â f.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Symleiddio.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Tynnwch \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f o \left(-9f\right)x+9y=-63 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio -9fx at 9fx. Mae'r termau -9fx a 9fx yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio 9y at -f^{2}y.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

Adio -63 at -8f.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Rhannu’r ddwy ochr â -f^{2}+9.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

Cyfnewidiwch -\frac{63+8f}{9-f^{2}} am y yn -9x+fy=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

Lluoswch f â -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Adio \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$