Datrys {l}{cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$cx+y=69$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$cx=-y+69$$

Rhannu’r ddwy ochr â c.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

Lluoswch \frac{1}{c} â -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Amnewid \frac{69-y}{c} am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

Lluoswch 2 â \frac{69-y}{c}.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

Adio -\frac{2y}{c} at y.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Tynnu \frac{138}{c} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{-2+c}{c}.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Cyfnewidiwch \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} am y yn x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

Lluoswch -\frac{1}{c} â \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c}.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

Adio \frac{69}{c} at -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)}.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Tynnwch 2x+y=87 o cx+y=69 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$cx-2x=69-87$$

Adio cx at -2x.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

Adio 69 at -87.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â c-2.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Cyfnewidiwch -\frac{18}{c-2} am x yn 2x+y=87. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

Lluoswch 2 â -\frac{18}{c-2}.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Adio \frac{36}{c-2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$