Datrys {l}{a+4d=21}{-2a+6d=0}

$$\left. \begin{array} { l } { a + 4 d = 21 } \\ { - 2 a + 6 d = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, d

$$a=9$$

$$d=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$a+4d=21$$

Tynnu 4d o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=-4d+21$$

Amnewid -4d+21 am a yn yr hafaliad arall, -2a+6d=0.

$$-2\left(-4d+21\right)+6d=0$$

Lluoswch -2 â -4d+21.

$$8d-42+6d=0$$

Adio 8d at 6d.

$$14d-42=0$$

Adio 42 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$14d=42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 14.

$$d=3$$

Cyfnewidiwch 3 am d yn a=-4d+21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-4\times 3+21$$

Lluoswch -4 â 3.

$$a=-12+21$$

Adio 21 at -12.

$$a=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=9,d=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{6-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{6-4\left(-2\right)}&\frac{1}{6-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 21\\\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a d.

$$a=9,d=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$a+4d=21,-2a+6d=0$$

I wneud a a -2a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-2a-2\times 4d=-2\times 21,-2a+6d=0$$

Symleiddio.

$$-2a-8d=-42,-2a+6d=0$$

Tynnwch -2a+6d=0 o -2a-8d=-42 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2a+2a-8d-6d=-42$$

Adio -2a at 2a. Mae'r termau -2a a 2a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8d-6d=-42$$

Adio -8d at -6d.

$$-14d=-42$$

Rhannu’r ddwy ochr â -14.

$$d=3$$

Cyfnewidiwch 3 am d yn -2a+6d=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$-2a+6\times 3=0$$

Lluoswch 6 â 3.

$$-2a+18=0$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2a=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$a=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=9,d=3$$