Datrys {l}{9x-7y=-19}{3x+y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x-7y=-19$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=7y-19$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â 7y-19.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

Amnewid \frac{7y-19}{9} am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

Lluoswch 3 â \frac{7y-19}{9}.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

Adio \frac{7y}{3} at y.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

Adio \frac{19}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

Lluoswch \frac{7}{9} â 4.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

Adio -\frac{19}{9} at \frac{28}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

I wneud 9x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

Symleiddio.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

Tynnwch 27x+9y=63 o 27x-21y=-57 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

Adio 27x at -27x. Mae'r termau 27x a -27x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-21y-9y=-57-63$$

Adio -21y at -9y.

$$-30y=-57-63$$

Adio -57 at -63.

$$-30y=-120$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 3x+y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4=7$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=4$$