Datrys {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x-3y-13=0$$

Adio 13 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x-3y=13$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=3y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Amnewid \frac{y}{3}+\frac{13}{9} am x yn yr hafaliad arall, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Lluoswch 2 â \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Adio \frac{2y}{3} at y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Adio \frac{26}{9} at -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Adio \frac{10}{9} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{2}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{3} am y yn x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â \frac{2}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Adio \frac{13}{9} at \frac{2}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

I wneud 9x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Symleiddio.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Tynnwch 18x+9y-36=0 o 18x-6y-26=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Adio -6y at -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Adio -26 at 36.

$$-15y+10=0$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{2}{3} am y yn 2x+y-4=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Adio \frac{2}{3} at -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Adio \frac{10}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$