Datrys {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x+y=88$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=-y+88$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Amnewid \frac{-y+88}{9} am x yn yr hafaliad arall, 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

Lluoswch 7 â \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

Adio -\frac{7y}{9} at -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Tynnu \frac{616}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{79}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

Lluoswch -\frac{1}{9} â 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Adio \frac{88}{9} at -\frac{7}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

I wneud 9x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Symleiddio.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Tynnwch 63x-72y=63 o 63x+7y=616 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

Adio 63x at -63x. Mae'r termau 63x a -63x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7y+72y=616-63$$

Adio 7y at 72y.

$$79y=616-63$$

Adio 616 at -63.

$$79y=553$$

Rhannu’r ddwy ochr â 79.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn 7x-8y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-8\times 7=7$$

Lluoswch -8 â 7.

$$7x-56=7$$

Adio 56 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=63$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=7$$