Datrys {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x+13y=9$$

Tynnu 13y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=-13y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Amnewid -\frac{13y}{9}+1 am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Lluoswch 2 â -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Adio -\frac{26y}{9} at y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{81}{17} am y yn x=-\frac{13}{9}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Lluoswch -\frac{13}{9} â -\frac{81}{17} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Adio 1 at \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

I wneud 9x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Symleiddio.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Tynnwch 18x+9y=99 o 18x+26y=18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$26y-9y=18-99$$

Adio 26y at -9y.

$$17y=18-99$$

Adio 18 at -99.

$$17y=-81$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Cyfnewidiwch -\frac{81}{17} am y yn 2x+y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Adio \frac{81}{17} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{134}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$