Datrys {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer v drwy ynysu v ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9v+2w=7$$

Tynnu 2w o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9v=-2w+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

Amnewid \frac{-2w+7}{9} am v yn yr hafaliad arall, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

Lluoswch 3 â \frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

Adio -\frac{2w}{3} at -8w.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

Tynnu \frac{7}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{26}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$w=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am w yn v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer v yn uniongyrchol.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

Lluoswch -\frac{2}{9} â \frac{1}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Adio \frac{7}{9} at -\frac{1}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$v=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics v a w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

I wneud 9v a 3v yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

Tynnwch 27v-72w=-18 o 27v+6w=21 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

Adio 27v at -27v. Mae'r termau 27v a -27v yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6w+72w=21+18$$

Adio 6w at 72w.

$$78w=21+18$$

Adio 21 at 18.

$$78w=39$$

Rhannu’r ddwy ochr â 78.

$$w=\frac{1}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{1}{2} am w yn 3v-8w=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer v yn uniongyrchol.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

Lluoswch -8 â \frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3v=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$v=\frac{2}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$