Datrys {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=7$$

$$n=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9m+6n=123$$

Tynnu 6n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9m=-6n+123$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â -6n+123.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

Amnewid \frac{-2n+41}{3} am m yn yr hafaliad arall, 9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

Lluoswch 9 â \frac{-2n+41}{3}.

$$-6n+123+5n=113$$

Adio -6n at 5n.

$$-n+123=113$$

Tynnu 123 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-n=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$n=10$$

Cyfnewidiwch 10 am n yn m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 10.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

Adio \frac{41}{3} at -\frac{20}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=7,n=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=7,n=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Tynnwch 9m+5n=113 o 9m+6n=123 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

Adio 9m at -9m. Mae'r termau 9m a -9m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6n-5n=123-113$$

Adio 6n at -5n.

$$n=123-113$$

Adio 123 at -113.

$$n=10$$

Cyfnewidiwch 10 am n yn 9m+5n=113. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$9m+5\times 10=113$$

Lluoswch 5 â 10.

$$9m+50=113$$

Tynnu 50 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$9m=63$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$m=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=7,n=10$$