Datrys {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x-5y=10$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=5y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Amnewid \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} am x yn yr hafaliad arall, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Lluoswch 6 â \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Adio \frac{15y}{4} at -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Tynnu \frac{15}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -4.

$$y=-14$$

Cyfnewidiwch -14 am y yn x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Lluoswch \frac{5}{8} â -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Adio \frac{5}{4} at -\frac{35}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

I wneud 8x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Symleiddio.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Tynnwch 48x-32y=88 o 48x-30y=60 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Adio 48x at -48x. Mae'r termau 48x a -48x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-30y+32y=60-88$$

Adio -30y at 32y.

$$2y=60-88$$

Adio 60 at -88.

$$2y=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-14$$

Cyfnewidiwch -14 am y yn 6x-4y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Lluoswch -4 â -14.

$$6x+56=11$$

Tynnu 56 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$