Datrys {l}{8x+2y=104}{1x+1y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=16$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$8x+2y=104$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=-2y+104$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

Lluoswch \frac{1}{8} â -2y+104.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

Amnewid -\frac{y}{4}+13 am x yn yr hafaliad arall, x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

Adio -\frac{y}{4} at y.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

Tynnu 13 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{4}y=12$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=16$$

Cyfnewidiwch 16 am y yn x=-\frac{1}{4}y+13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â 16.

$$x=-4+13$$

Adio 13 at -4.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=16$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=16$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

I wneud 8x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 8.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

Symleiddio.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

Tynnwch 8x+8y=200 o 8x+2y=104 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-8y=104-200$$

Adio 2y at -8y.

$$-6y=104-200$$

Adio 104 at -200.

$$-6y=-96$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=16$$

Cyfnewidiwch 16 am y yn x+y=25. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+16=25$$

Tynnu 16 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=16$$