Datrys {l}{7x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x-8y=9$$

Adio 8y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=8y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Amnewid \frac{8y+9}{7} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)+3y=-10$$

Lluoswch 4 â \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}+3y=-10$$

Adio \frac{32y}{7} at 3y.

$$\frac{53}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Tynnu \frac{36}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{53}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{53}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8}{7}\left(-2\right)+\frac{9}{7}$$

Lluoswch \frac{8}{7} â -2.

$$x=\frac{-16+9}{7}$$

Adio \frac{9}{7} at -\frac{16}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{8}{53}\\-\frac{4}{53}&\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 9+\frac{8}{53}\left(-10\right)\\-\frac{4}{53}\times 9+\frac{7}{53}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-1,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x-8y=9,4x+3y=-10$$

I wneud 7x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\times 3y=7\left(-10\right)$$

Symleiddio.

$$28x-32y=36,28x+21y=-70$$

Tynnwch 28x+21y=-70 o 28x-32y=36 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$28x-28x-32y-21y=36+70$$

Adio 28x at -28x. Mae'r termau 28x a -28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-32y-21y=36+70$$

Adio -32y at -21y.

$$-53y=36+70$$

Adio 36 at 70.

$$-53y=106$$

Rhannu’r ddwy ochr â -53.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 4x+3y=-10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\left(-2\right)=-10$$

Lluoswch 3 â -2.

$$4x-6=-10$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-1,y=-2$$