Datrys {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$7x-y=-39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$11x-y=9$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x-y=-39$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=y-39$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

Amnewid \frac{-39+y}{7} am x yn yr hafaliad arall, 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

Lluoswch 11 â \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

Adio \frac{11y}{7} at -y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

Adio \frac{429}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{4}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=123$$

Cyfnewidiwch 123 am y yn x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

Lluoswch \frac{1}{7} â 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

Adio -\frac{39}{7} at \frac{123}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=123$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$7x-y=-39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$11x-y=9$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=12,y=123$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$7x-y=-39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$11x-y=9$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Tynnwch 11x-y=9 o 7x-y=-39 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

Adio -y at y. Mae'r termau -y a y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7x-11x=-39-9$$

Adio 7x at -11x.

$$-4x=-39-9$$

Adio -39 at -9.

$$-4x=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=12$$

Cyfnewidiwch 12 am x yn 11x-y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$11\times 12-y=9$$

Lluoswch 11 â 12.

$$132-y=9$$

Tynnu 132 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-123$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=123$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=123$$