Datrys {l}{7x+8y=30}{8x-5y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+8y=30$$

Tynnu 8y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-8y+30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -8y+30.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

Amnewid \frac{-8y+30}{7} am x yn yr hafaliad arall, 8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

Lluoswch 8 â \frac{-8y+30}{7}.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

Adio -\frac{64y}{7} at -5y.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

Tynnu \frac{240}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{99}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

Lluoswch -\frac{8}{7} â 2.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Adio \frac{30}{7} at -\frac{16}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

I wneud 7x a 8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 8 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Symleiddio.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

Tynnwch 56x-35y=42 o 56x+64y=240 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

Adio 56x at -56x. Mae'r termau 56x a -56x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$64y+35y=240-42$$

Adio 64y at 35y.

$$99y=240-42$$

Adio 240 at -42.

$$99y=198$$

Rhannu’r ddwy ochr â 99.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 8x-5y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$8x-5\times 2=6$$

Lluoswch -5 â 2.

$$8x-10=6$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=2$$