Datrys {l}{7x+8y=-5}{4x+3y=-36}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = - 5 } \\ { 4 x + 3 y = - 36 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{273}{11} = -24\frac{9}{11} \approx -24.818181818$$

$$y = \frac{232}{11} = 21\frac{1}{11} \approx 21.090909091$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+8y=-5$$

Tynnu 8y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-8y-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y-5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -8y-5.

$$x=-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}$$

Amnewid \frac{-8y-5}{7} am x yn yr hafaliad arall, 4x+3y=-36.

$$4\left(-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}\right)+3y=-36$$

Lluoswch 4 â \frac{-8y-5}{7}.

$$-\frac{32}{7}y-\frac{20}{7}+3y=-36$$

Adio -\frac{32y}{7} at 3y.

$$-\frac{11}{7}y-\frac{20}{7}=-36$$

Adio \frac{20}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{7}y=-\frac{232}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{232}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{232}{11} am y yn x=-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{8}{7}\times \frac{232}{11}-\frac{5}{7}$$

Lluoswch -\frac{8}{7} â \frac{232}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1856}{77}-\frac{5}{7}$$

Adio -\frac{5}{7} at -\frac{1856}{77} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{273}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-8\times 4}&-\frac{8}{7\times 3-8\times 4}\\-\frac{4}{7\times 3-8\times 4}&\frac{7}{7\times 3-8\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&\frac{8}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{7}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\left(-5\right)+\frac{8}{11}\left(-36\right)\\\frac{4}{11}\left(-5\right)-\frac{7}{11}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{273}{11}\\\frac{232}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

I wneud 7x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$4\times 7x+4\times 8y=4\left(-5\right),7\times 4x+7\times 3y=7\left(-36\right)$$

Symleiddio.

$$28x+32y=-20,28x+21y=-252$$

Tynnwch 28x+21y=-252 o 28x+32y=-20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$28x-28x+32y-21y=-20+252$$

Adio 28x at -28x. Mae'r termau 28x a -28x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$32y-21y=-20+252$$

Adio 32y at -21y.

$$11y=-20+252$$

Adio -20 at 252.

$$11y=232$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{232}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{232}{11} am y yn 4x+3y=-36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+3\times \frac{232}{11}=-36$$

Lluoswch 3 â \frac{232}{11}.

$$4x+\frac{696}{11}=-36$$

Tynnu \frac{696}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-\frac{1092}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=-\frac{273}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$