Datrys {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+3y=4$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-3y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Amnewid \frac{-3y+4}{7} am x yn yr hafaliad arall, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Lluoswch 2 â \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Adio -\frac{6y}{7} at 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Tynnu \frac{8}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{22}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{24}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{24}{11} am y yn x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Lluoswch -\frac{3}{7} â \frac{24}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Adio \frac{4}{7} at -\frac{72}{77} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

I wneud 7x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Symleiddio.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Tynnwch 14x+28y=56 o 14x+6y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Adio 14x at -14x. Mae'r termau 14x a -14x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-28y=8-56$$

Adio 6y at -28y.

$$-22y=8-56$$

Adio 8 at -56.

$$-22y=-48$$

Rhannu’r ddwy ochr â -22.

$$y=\frac{24}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{24}{11} am y yn 2x+4y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Lluoswch 4 â \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Tynnu \frac{96}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$