Datrys {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2z o'r ddwy ochr.

$$5w-2z=8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer w drwy ynysu w ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7w+2z=16$$

Tynnu 2z o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7w=-2z+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Amnewid \frac{-2z+16}{7} am w yn yr hafaliad arall, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Lluoswch 5 â \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Adio -\frac{10z}{7} at -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Tynnu \frac{80}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{24}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$z=1$$

Cyfnewidiwch 1 am z yn w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Adio \frac{16}{7} at -\frac{2}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$w=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=2,z=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2z o'r ddwy ochr.

$$5w-2z=8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics w a z.

$$w=2,z=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2z o'r ddwy ochr.

$$5w-2z=8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

I wneud 7w a 5w yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Symleiddio.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Tynnwch 35w-14z=56 o 35w+10z=80 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Adio 35w at -35w. Mae'r termau 35w a -35w yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10z+14z=80-56$$

Adio 10z at 14z.

$$24z=80-56$$

Adio 80 at -56.

$$24z=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 24.

$$z=1$$

Cyfnewidiwch 1 am z yn 5w-2z=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer w yn uniongyrchol.

$$5w-2=8$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5w=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$w=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$w=2,z=1$$