Datrys {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$62x+y=44$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$62x=-y+44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Lluoswch \frac{1}{62} â -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Amnewid -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} am x yn yr hafaliad arall, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Lluoswch 34 â -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Adio -\frac{17y}{31} at -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Tynnu \frac{748}{31} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{48}{31}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{3} am y yn x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Lluoswch -\frac{1}{62} â -\frac{23}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Adio \frac{22}{31} at \frac{23}{186} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

I wneud 62x a 34x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 34 a holl dermau naill ochr yr ail â 62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Symleiddio.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Tynnwch 2108x-62y=2232 o 2108x+34y=1496 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Adio 2108x at -2108x. Mae'r termau 2108x a -2108x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$34y+62y=1496-2232$$

Adio 34y at 62y.

$$96y=1496-2232$$

Adio 1496 at -2232.

$$96y=-736$$

Rhannu’r ddwy ochr â 96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{3} am y yn 34x-y=36. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Tynnu \frac{23}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 34.

$$x=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$