Datrys {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6y+4x=27$$

Tynnu 4x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=-4x+27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Amnewid -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} am y yn yr hafaliad arall, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Adio -\frac{2x}{3} at x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Tynnu \frac{9}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{273}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{273}{2} am x yn y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{273}{2} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

I wneud 6y a y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Symleiddio.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Tynnwch 6y+6x=300 o 6y+4x=27 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Adio 6y at -6y. Mae'r termau 6y a -6y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4x-6x=27-300$$

Adio 4x at -6x.

$$-2x=27-300$$

Adio 27 at -300.

$$-2x=-273$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=\frac{273}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{273}{2} am x yn y+x=50. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Tynnu \frac{273}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$