Datrys {l}{6x-7y=24-3x}{4x+7y=x+6y+18}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 7 y = 24 - 3 x } \\ { 4 x + 7 y = x + 6 y + 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$6x-7y+3x=24$$

Cyfuno 6x a 3x i gael 9x.

$$9x-7y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x+7y-x=6y+18$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x+7y=6y+18$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$3x+7y-6y=18$$

Cyfuno 7y a -6y i gael y.

$$3x+y=18$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x-7y=24,3x+y=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x-7y=24$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=7y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y+24\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â 7y+24.

$$x=\frac{7}{9}y+\frac{8}{3}$$

Amnewid \frac{7y}{9}+\frac{8}{3} am x yn yr hafaliad arall, 3x+y=18.

$$3\left(\frac{7}{9}y+\frac{8}{3}\right)+y=18$$

Lluoswch 3 â \frac{7y}{9}+\frac{8}{3}.

$$\frac{7}{3}y+8+y=18$$

Adio \frac{7y}{3} at y.

$$\frac{10}{3}y+8=18$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{10}{3}y=10$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{7}{9}y+\frac{8}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{9}\times 3+\frac{8}{3}$$

Lluoswch \frac{7}{9} â 3.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Adio \frac{8}{3} at \frac{7}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$6x-7y+3x=24$$

Cyfuno 6x a 3x i gael 9x.

$$9x-7y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x+7y-x=6y+18$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x+7y=6y+18$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$3x+7y-6y=18$$

Cyfuno 7y a -6y i gael y.

$$3x+y=18$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x-7y=24,3x+y=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 24+\frac{7}{30}\times 18\\-\frac{1}{10}\times 24+\frac{3}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 3x at y ddwy ochr.

$$6x-7y+3x=24$$

Cyfuno 6x a 3x i gael 9x.

$$9x-7y=24$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$4x+7y-x=6y+18$$

Cyfuno 4x a -x i gael 3x.

$$3x+7y=6y+18$$

Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$3x+7y-6y=18$$

Cyfuno 7y a -6y i gael y.

$$3x+y=18$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x-7y=24,3x+y=18$$

I wneud 9x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\times 24,9\times 3x+9y=9\times 18$$

Symleiddio.

$$27x-21y=72,27x+9y=162$$

Tynnwch 27x+9y=162 o 27x-21y=72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27x-27x-21y-9y=72-162$$

Adio 27x at -27x. Mae'r termau 27x a -27x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-21y-9y=72-162$$

Adio -21y at -9y.

$$-30y=72-162$$

Adio 72 at -162.

$$-30y=-90$$

Rhannu’r ddwy ochr â -30.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 3x+y=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+3=18$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=3$$