Datrys {l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 27 } \\ { \frac { 4 } { 5 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 25 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

Adio \frac{y}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â \frac{y}{3}+27.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

Amnewid \frac{y}{18}+\frac{9}{2} am x yn yr hafaliad arall, \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Lluoswch \frac{4}{5} â \frac{y}{18}+\frac{9}{2}.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Adio \frac{2y}{45} at \frac{y}{4}.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

Tynnu \frac{18}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{53}{180}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{18} â 9.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

Adio \frac{9}{2} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

I wneud 6x a \frac{4x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{4}{5} a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

Symleiddio.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

Tynnwch \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} o \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Adio \frac{24x}{5} at -\frac{24x}{5}. Mae'r termau \frac{24x}{5} a -\frac{24x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Adio -\frac{4y}{15} at -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Adio \frac{108}{5} at -\frac{75}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{53}{30}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 9.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Tynnu \frac{9}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{4}{5}x=4$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{4}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=9$$