Datrys {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$6m-5n=-9$$

Adio 5n at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6m=5n-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{6} â 5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} am m yn yr hafaliad arall, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

Lluoswch 4 â \frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

Adio \frac{10n}{3} at 3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$n=\frac{213}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{213}{19} am n yn m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Lluoswch \frac{5}{6} â \frac{213}{19} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Adio -\frac{3}{2} at \frac{355}{38} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=\frac{149}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

I wneud 6m a 4m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Symleiddio.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Tynnwch 24m+18n=390 o 24m-20n=-36 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

Adio 24m at -24m. Mae'r termau 24m a -24m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-20n-18n=-36-390$$

Adio -20n at -18n.

$$-38n=-36-390$$

Adio -36 at -390.

$$-38n=-426$$

Rhannu’r ddwy ochr â -38.

$$n=\frac{213}{19}$$

Cyfnewidiwch \frac{213}{19} am n yn 4m+3n=65. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

Lluoswch 3 â \frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Tynnu \frac{639}{19} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$m=\frac{149}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$