Datrys {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-y=8$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Amnewid \frac{8+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

Lluoswch 10 â \frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

Adio 2y at 3y.

$$5y+16=6$$

Tynnu 16 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Adio \frac{8}{5} at -\frac{2}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{6}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

I wneud 5x a 10x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 10 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Symleiddio.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Tynnwch 50x+15y=30 o 50x-10y=80 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

Adio 50x at -50x. Mae'r termau 50x a -50x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y-15y=80-30$$

Adio -10y at -15y.

$$-25y=80-30$$

Adio 80 at -30.

$$-25y=50$$

Rhannu’r ddwy ochr â -25.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 10x+3y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

Lluoswch 3 â -2.

$$10x-6=6$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$10x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$