Datrys {l}{5x-y=26}{y=3x-12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 26 } \\ { y = 3 x - 12 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-12$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-y=26$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=y+26$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+26\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â y+26.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{26}{5}$$

Amnewid \frac{26+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, -3x+y=-12.

$$-3\left(\frac{1}{5}y+\frac{26}{5}\right)+y=-12$$

Lluoswch -3 â \frac{26+y}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{78}{5}+y=-12$$

Adio -\frac{3y}{5} at y.

$$\frac{2}{5}y-\frac{78}{5}=-12$$

Adio \frac{78}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{5}y=\frac{18}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{26}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\times 9+\frac{26}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 9.

$$x=\frac{9+26}{5}$$

Adio \frac{26}{5} at \frac{9}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-12$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-12\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 26+\frac{1}{2}\left(-12\right)\\\frac{3}{2}\times 26+\frac{5}{2}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-12$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-y=26,-3x+y=-12$$

I wneud 5x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 26,5\left(-3\right)x+5y=5\left(-12\right)$$

Symleiddio.

$$-15x+3y=-78,-15x+5y=-60$$

Tynnwch -15x+5y=-60 o -15x+3y=-78 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x+3y-5y=-78+60$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y-5y=-78+60$$

Adio 3y at -5y.

$$-2y=-78+60$$

Adio -78 at 60.

$$-2y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn -3x+y=-12. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+9=-12$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=9$$