Datrys {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$5x-8-y=0$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$5x-y=8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-y=8$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Amnewid \frac{8+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Lluoswch 3 â \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Adio \frac{3y}{5} at 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Tynnu \frac{24}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{14}{13} am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -\frac{14}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Adio \frac{8}{5} at -\frac{14}{65} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{18}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$5x-8-y=0$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$5x-y=8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$5x-8-y=0$$

Ychwanegu 8 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$5x-y=8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Symleiddio.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Tynnwch 15x+10y=10 o 15x-3y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-10y=24-10$$

Adio -3y at -10y.

$$-13y=24-10$$

Adio 24 at -10.

$$-13y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{14}{13} am y yn 3x+2y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Lluoswch 2 â -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Adio \frac{28}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$