Datrys {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-7y=4$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=7y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Amnewid \frac{7y+4}{5} am x yn yr hafaliad arall, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

Lluoswch -1 â \frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

Adio -\frac{7y}{5} at 2y.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

Adio \frac{4}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{3} am y yn x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

Lluoswch \frac{7}{5} â -\frac{11}{3} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

Adio \frac{4}{5} at -\frac{77}{15} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

I wneud 5x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

Tynnwch -5x+10y=-15 o -5x+7y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

Adio -5x at 5x. Mae'r termau -5x a 5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7y-10y=-4+15$$

Adio 7y at -10y.

$$-3y=-4+15$$

Adio -4 at 15.

$$-3y=11$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=-\frac{11}{3}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{3} am y yn -x+2y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

Lluoswch 2 â -\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

Adio \frac{22}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=\frac{13}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$