Datrys {l}{5x-4y=16}{y=2x-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 16 } \\ { y = 2 x - 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-10$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-4y=16$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=4y+16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+16\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 16+4y.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{16}{5}$$

Amnewid \frac{16+4y}{5} am x yn yr hafaliad arall, -2x+y=-10.

$$-2\left(\frac{4}{5}y+\frac{16}{5}\right)+y=-10$$

Lluoswch -2 â \frac{16+4y}{5}.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{32}{5}+y=-10$$

Adio -\frac{8y}{5} at y.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{32}{5}=-10$$

Adio \frac{32}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{18}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=\frac{4}{5}y+\frac{16}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{4}{5}\times 6+\frac{16}{5}$$

Lluoswch \frac{4}{5} â 6.

$$x=\frac{24+16}{5}$$

Adio \frac{16}{5} at \frac{24}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-10$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 16-\frac{4}{3}\left(-10\right)\\-\frac{2}{3}\times 16-\frac{5}{3}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y-2x=-10$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-4y=16,-2x+y=-10$$

I wneud 5x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-2\times 5x-2\left(-4\right)y=-2\times 16,5\left(-2\right)x+5y=5\left(-10\right)$$

Symleiddio.

$$-10x+8y=-32,-10x+5y=-50$$

Tynnwch -10x+5y=-50 o -10x+8y=-32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10x+10x+8y-5y=-32+50$$

Adio -10x at 10x. Mae'r termau -10x a 10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y-5y=-32+50$$

Adio 8y at -5y.

$$3y=-32+50$$

Adio -32 at 50.

$$3y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn -2x+y=-10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+6=-10$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=6$$