Datrys {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y-4=34$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x-3y=38$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+38$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Amnewid \frac{3y+38}{5} am x yn yr hafaliad arall, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Lluoswch -3 â \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Adio -\frac{9y}{5} at 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Adio -\frac{114}{5} at -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Adio \frac{204}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{16}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{187}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{187}{8} am y yn x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â \frac{187}{8} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Adio \frac{38}{5} at \frac{561}{40} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{173}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

I wneud 5x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Symleiddio.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Tynnwch -15x+25y-90=170 o -15x+9y+12=-102 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Adio 9y at -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Adio 12 at 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Adio -102 at -170.

$$-16y+102=-272$$

Tynnu 102 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-16y=-374$$

Rhannu’r ddwy ochr â -16.

$$y=\frac{187}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{187}{8} am y yn -3x+5y-18=34. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Lluoswch 5 â \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Adio \frac{935}{8} at -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Tynnu \frac{791}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=\frac{173}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$