Datrys {l}{5x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y=2$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Amnewid \frac{3y+2}{5} am x yn yr hafaliad arall, 4x+7y=-3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y=-3$$

Lluoswch 4 â \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y=-3$$

Adio \frac{12y}{5} at 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}=-3$$

Tynnu \frac{8}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{47}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{47} am y yn x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â -\frac{23}{47} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Adio \frac{2}{5} at -\frac{69}{235} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{5}{47}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y=2,4x+7y=-3$$

I wneud 5x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 2,5\times 4x+5\times 7y=5\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$20x-12y=8,20x+35y=-15$$

Tynnwch 20x+35y=-15 o 20x-12y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20x-20x-12y-35y=8+15$$

Adio 20x at -20x. Mae'r termau 20x a -20x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12y-35y=8+15$$

Adio -12y at -35y.

$$-47y=8+15$$

Adio 8 at 15.

$$-47y=23$$

Rhannu’r ddwy ochr â -47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Cyfnewidiwch -\frac{23}{47} am y yn 4x+7y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)=-3$$

Lluoswch 7 â -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}=-3$$

Adio \frac{161}{47} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{5}{47}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$