Datrys {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y=1800$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+1800$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

Amnewid \frac{3y}{5}+360 am x yn yr hafaliad arall, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

Lluoswch 6 â \frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

Adio \frac{18y}{5} at -4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

Tynnu 2160 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1400$$

Cyfnewidiwch 1400 am y yn x=\frac{3}{5}y+360. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

Lluoswch \frac{3}{5} â 1400.

$$x=840+360$$

Adio 360 at 840.

$$x=1200$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1200,y=1400$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1200,y=1400$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

I wneud 5x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

Symleiddio.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

Tynnwch 30x-20y=8000 o 30x-18y=10800 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

Adio 30x at -30x. Mae'r termau 30x a -30x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-18y+20y=10800-8000$$

Adio -18y at 20y.

$$2y=10800-8000$$

Adio 10800 at -8000.

$$2y=2800$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=1400$$

Cyfnewidiwch 1400 am y yn 6x-4y=1600. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-4\times 1400=1600$$

Lluoswch -4 â 1400.

$$6x-5600=1600$$

Adio 5600 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=7200$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=1200$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1200,y=1400$$