Datrys {l}{5x+y=-17}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 17 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-4$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+y=-17$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-y-17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -y-17.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}$$

Amnewid \frac{-y-17}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}\right)+5y=7$$

Lluoswch 2 â \frac{-y-17}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{34}{5}+5y=7$$

Adio -\frac{2y}{5} at 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{34}{5}=7$$

Adio \frac{34}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{23}{5}y=\frac{69}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{23}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{5}y-\frac{17}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{5}\times 3-\frac{17}{5}$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â 3.

$$x=\frac{-3-17}{5}$$

Adio -\frac{17}{5} at -\frac{3}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-17\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-17\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-4,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+y=-17,2x+5y=7$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-17\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Symleiddio.

$$10x+2y=-34,10x+25y=35$$

Tynnwch 10x+25y=35 o 10x+2y=-34 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+2y-25y=-34-35$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2y-25y=-34-35$$

Adio 2y at -25y.

$$-23y=-34-35$$

Adio -34 at -35.

$$-23y=-69$$

Rhannu’r ddwy ochr â -23.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 2x+5y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+5\times 3=7$$

Lluoswch 5 â 3.

$$2x+15=7$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-4,y=3$$