Datrys {l}{5x+6y=-3}{3x+7y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = - 3 } \\ { 3 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+6y=-3$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-6y-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y-3\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -6y-3.

$$x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Amnewid \frac{-6y-3}{5} am x yn yr hafaliad arall, 3x+7y=5.

$$3\left(-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)+7y=5$$

Lluoswch 3 â \frac{-6y-3}{5}.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{9}{5}+7y=5$$

Adio -\frac{18y}{5} at 7y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{9}{5}=5$$

Adio \frac{9}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Lluoswch -\frac{6}{5} â 2.

$$x=\frac{-12-3}{5}$$

Adio -\frac{3}{5} at -\frac{12}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-6\times 3}&-\frac{6}{5\times 7-6\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-6\times 3}&\frac{5}{5\times 7-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}\left(-3\right)-\frac{6}{17}\times 5\\-\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-3,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\left(-3\right),5\times 3x+5\times 7y=5\times 5$$

Symleiddio.

$$15x+18y=-9,15x+35y=25$$

Tynnwch 15x+35y=25 o 15x+18y=-9 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x+18y-35y=-9-25$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y-35y=-9-25$$

Adio 18y at -35y.

$$-17y=-9-25$$

Adio -9 at -25.

$$-17y=-34$$

Rhannu’r ddwy ochr â -17.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 3x+7y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+7\times 2=5$$

Lluoswch 7 â 2.

$$3x+14=5$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-3,y=2$$