Datrys {l}{5x+5y=17}{2x+3y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$y = \frac{21}{5} = 4\frac{1}{5} = 4.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+5y=17,2x+3y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+5y=17$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-5y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -5y+17.

$$x=-y+\frac{17}{5}$$

Amnewid -y+\frac{17}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=11.

$$2\left(-y+\frac{17}{5}\right)+3y=11$$

Lluoswch 2 â -y+\frac{17}{5}.

$$-2y+\frac{34}{5}+3y=11$$

Adio -2y at 3y.

$$y+\frac{34}{5}=11$$

Tynnu \frac{34}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{21}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{21}{5} am y yn x=-y+\frac{17}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{21}{5}+\frac{17}{5}$$

Lluoswch -1 â \frac{21}{5}.

$$x=\frac{-21+17}{5}$$

Adio \frac{17}{5} at -\frac{21}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{21}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+5y=17,2x+3y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-5\times 2}&\frac{5}{5\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-1\\-\frac{2}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 17-11\\-\frac{2}{5}\times 17+11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\\frac{21}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{21}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+5y=17,2x+3y=11$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 11$$

Symleiddio.

$$10x+10y=34,10x+15y=55$$

Tynnwch 10x+15y=55 o 10x+10y=34 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+10y-15y=34-55$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y-15y=34-55$$

Adio 10y at -15y.

$$-5y=34-55$$

Adio 34 at -55.

$$-5y=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=\frac{21}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{21}{5} am y yn 2x+3y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times \frac{21}{5}=11$$

Lluoswch 3 â \frac{21}{5}.

$$2x+\frac{63}{5}=11$$

Tynnu \frac{63}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-\frac{8}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{21}{5}$$