Datrys {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=6$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Amnewid \frac{-3y+6}{5} am x yn yr hafaliad arall, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

Lluoswch 2 â \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

Adio -\frac{6y}{5} at 7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

Tynnu \frac{12}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{29}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{33}{29}$$

Cyfnewidiwch \frac{33}{29} am y yn x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

Lluoswch -\frac{3}{5} â \frac{33}{29} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

Adio \frac{6}{5} at -\frac{99}{145} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{15}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

I wneud 5x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

Symleiddio.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

Tynnwch 10x+35y=45 o 10x+6y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-35y=12-45$$

Adio 6y at -35y.

$$-29y=12-45$$

Adio 12 at -45.

$$-29y=-33$$

Rhannu’r ddwy ochr â -29.

$$y=\frac{33}{29}$$

Cyfnewidiwch \frac{33}{29} am y yn 2x+7y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

Lluoswch 7 â \frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

Tynnu \frac{231}{29} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{30}{29}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{15}{29}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$