Datrys {l}{5x+3y=30}{3x+3y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+3y=30$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-3y+30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -3y+30.

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

Amnewid -\frac{3y}{5}+6 am x yn yr hafaliad arall, 3x+3y=18.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

Lluoswch 3 â -\frac{3y}{5}+6.

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

Adio -\frac{9y}{5} at 3y.

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{6}{5}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{6}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{3}{5}y+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=6$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=6,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

Tynnwch 3x+3y=18 o 5x+3y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

Adio 3y at -3y. Mae'r termau 3y a -3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5x-3x=30-18$$

Adio 5x at -3x.

$$2x=30-18$$

Adio 30 at -18.

$$2x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=6$$

Cyfnewidiwch 6 am x yn 3x+3y=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$3\times 6+3y=18$$

Lluoswch 3 â 6.

$$18+3y=18$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=6,y=0$$