Datrys {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=6$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+6}{5} am x yn yr hafaliad arall, 9x+2y=22.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

Lluoswch 9 â \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

Adio -\frac{18y}{5} at 2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

Tynnu \frac{54}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{8}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-7$$

Cyfnewidiwch -7 am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â -7.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

Adio \frac{6}{5} at \frac{14}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=-7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

Tynnwch 9x+2y=22 o 5x+2y=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

Adio 2y at -2y. Mae'r termau 2y a -2y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5x-9x=6-22$$

Adio 5x at -9x.

$$-4x=6-22$$

Adio 6 at -22.

$$-4x=-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn 9x+2y=22. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$9\times 4+2y=22$$

Lluoswch 9 â 4.

$$36+2y=22$$

Tynnu 36 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=-7$$