Datrys {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x+2y=34$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=-2y+34$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -2y+34.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

Amnewid \frac{-2y+34}{5} am x yn yr hafaliad arall, 7x-3y=7.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

Lluoswch 7 â \frac{-2y+34}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

Adio -\frac{14y}{5} at -3y.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

Tynnu \frac{238}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{29}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

Lluoswch -\frac{2}{5} â 7.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

Adio \frac{34}{5} at -\frac{14}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

I wneud 5x a 7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 7 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

Symleiddio.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

Tynnwch 35x-15y=35 o 35x+14y=238 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

Adio 35x at -35x. Mae'r termau 35x a -35x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y+15y=238-35$$

Adio 14y at 15y.

$$29y=238-35$$

Adio 238 at -35.

$$29y=203$$

Rhannu’r ddwy ochr â 29.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn 7x-3y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$7x-3\times 7=7$$

Lluoswch -3 â 7.

$$7x-21=7$$

Adio 21 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=7$$